Naloge na temo "Številski sistemi"

Primeri rešitev

Naloga številka 1. Koliko pomembne številke v zapisu decimalnega števila 357 v številskem sistemu z osnovo 3?Odločitev:Prevedemo število 35710 v ternarni številski sistem:Torej, 35710 = 1110203. Število 1110203 vsebuje 6 pomembnih števk.Odgovor: 6.

Naloga številka 2. Glede na A=A715, B=2518. Katera od številk C, zapisanih v binarnem sistemu, izpolnjuje pogoj A1) 101011002 2) 101010102 3) 101010112 4) 101010002 Odločitev:Pretvorimo številki A=A715 in B=2518 v binarni številski sistem, tako da vsako številko prvega števila nadomestimo z ustrezno tetrado, vsako številko drugega števila pa z ustrezno triado: A715= 1010 01112; 2518 = 010 101 0012.Pogoj a

Naloga številka 3. S katero številko se decimalno število 123 konča na osnovi 6?Odločitev:Prevedemo število 12310 v številski sistem z bazo 6:12310 = 3236. Odgovor: Vpis števila 12310 v številski sistem z osnovo 6 se konča s številko 3.Naloge za izvajanje aritmetičnih operacij nad števili, predstavljenimi v različnih številskih sistemih

Naloga številka 4. Izračunajte vsoto števil X in Y, če je X=1101112, Y=1358. Rezultat izrazite v binarni obliki.1) 100100112 2) 100101002 3) 110101002 4) 101001002 Odločitev:Prevedemo število Y=1358 v binarni številski sistem in vsako njegovo števko nadomestimo z ustrezno triado: 001 011 1012. Izvedite seštevanje:Odgovor: 100101002 (možnost 2).

Naloga številka 5. Poiščite aritmetično sredino števil 2368, 6C16 in 1110102. Odgovor izrazite v decimalnem zapisu.Odločitev:Prevedemo števila 2368, 6С16 in 1110102 v decimalni številski sistem:
Izračunajmo aritmetično sredino števil: (158+108+58)/3 = 10810.Odgovor: aritmetična sredina številk 2368, 6C16 in 1110102 je 10810.

Naloga številka 6. Izračunajte vrednost izraza 2068 + AF16 ? 110010102. Izračunajte v osmem številskem sistemu. Pretvorite svoj odgovor v decimalko.Odločitev:Prevedemo vsa števila v osmiški številski sistem:2068 = 2068; AF16 = 2578; 110010102 = 3128Dodajmo številke:Pretvorimo odgovor v decimalni sistem:Odgovor: 51110.

Naloge za iskanje osnove številskega sistema

Naloga številka 7. Na vrtu je 100q sadnega drevja: 33q jablane, 22q hruške, 16q slive in 17q češnje. Poiščite osnovo številskega sistema, v katerem se štejejo drevesa.Odločitev:Na vrtu je 100q dreves: 100q = 33q+22q+16q+17q.Oštevilčimo števke in jih predstavimo v razširjeni obliki:
Odgovor: Drevesa se štejejo v številčnem sistemu 9.

Naloga številka 8. Poiščite osnovo x številskega sistema, če veste, da je 2002x = 13010.Odločitev:Odgovor: 4.

Naloga številka 9. V številskem sistemu z neko osnovo je decimalno število 18 zapisano kot 30. Določite to osnovo.Odločitev:Vzemimo osnovo neznanega številskega sistema kot x in zapišemo naslednjo enačbo:1810 = 30x;Številke oštevilčimo in te številke zapišemo v razširjeni obliki:Odgovor: Decimalno število 18 je zapisano kot 30 v številskem sistemu 6.

Kalkulator vam omogoča pretvarjanje celih in ulomkov iz enega številskega sistema v drugega. Osnova številskega sistema ne sme biti manjša od 2 in večja od 36 (navsezadnje 10 števk in 26 latiničnih črk). Številke ne smejo presegati 30 znakov. Za vnos ulomnih številk uporabite simbol. ali, . Za pretvorbo števila iz enega sistema v drugega vnesite prvotno število v prvo polje, osnovo prvotnega številskega sistema v drugo in osnovo številskega sistema, v katerega želite pretvoriti število v tretje polje, nato kliknite gumb "Pridobi vnos".

izvirna številka zabeleženo v 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 -ti številski sistem.

Želim dobiti zapis o številki 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ti številski sistem.

Pridobite vnos

Opravljeni prevodi: 3722471

Zanimivo je lahko tudi:

• Kalkulator tabele resnice. SDNF. SKNF. Zhegalkin polinom

Številčni sistemi

Številčni sistemi so razdeljeni na dve vrsti: pozicijski in ne pozicijsko. Uporabljamo arabski sistem, je pozicijski, obstaja pa tudi rimski - samo ni pozicijski. V pozicijskih sistemih položaj števke v številu enolično določa vrednost te številke. To je enostavno razumeti, če pogledamo primer neke številke.

Primer 1. Vzemimo število 5921 v decimalnem številskem sistemu. Številko oštevilčimo od desne proti levi, začenši od nič:

Število 5921 lahko zapišemo v naslednji obliki: 5921 = 5000+900+20+1 = 5 10 3 +9 10 2 +2 10 1 +1 10 0 . Število 10 je značilnost, ki opredeljuje številski sistem. Vrednosti položaja danega števila se vzamejo kot stopinje.

Primer 2. Razmislite o realnem decimalnem številu 1234,567. Oštevilčimo ga začenši z ničelnega položaja števila od decimalne vejice na levo in desno:

Število 1234,567 lahko zapišemo na naslednji način: 1234,567 = 1000+200+30+4+0,5+0,06+0,007 = 1 10 3 +2 10 2 +3 10 1 +4 10 0 +5 10 -1 -1 + 2 6 +7 10 -3 .

Pretvorba številk iz enega številskega sistema v drugega

Večina na preprost način Prenos števila iz enega številskega sistema v drugega je prevod števila najprej v decimalni številski sistem, nato pa dobljeni rezultat v zahtevani številski sistem.

Pretvorba števil iz katerega koli številskega sistema v decimalni številski sistem

Za pretvorbo števila iz katerega koli številskega sistema v decimalni sistem je dovolj, da oštevilčimo njegove števke, začenši od nič (števka levo od decimalne vejice) podobno kot primera 1 ali 2. Poiščimo vsoto zmnožkov števk števila z osnovo številskega sistema na moč položaja te števke:

1. Pretvori število 1001101.1101 2 v decimalni številski sistem.
Odločitev: 10011.1101 2 = 1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +1 2 0 +1 2 -1 +1 2 -2 +0 2 -3 +1 2 - 4 = 16+2+1+0,5 +0,25+0,0625 = 19,8125 10
odgovor: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Pretvori število E8F.2D 16 v decimalni številski sistem.
Odločitev: E8F.2D 16 = 14 16 2 +8 16 1 +15 16 0 +2 16 -1 +13 16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
odgovor: E8F.2D 16 = 3727,17578125 10

Pretvorba števil iz decimalnega številskega sistema v drug številski sistem

Za pretvorbo števil iz decimalnega številskega sistema v drug številski sistem je treba celi in ulomni del števila prevesti ločeno.

Pretvorba celega dela števila iz decimalnega številskega sistema v drug številski sistem

Celoštevilčni del se iz decimskega številskega sistema pretvori v drug številski sistem tako, da se celi del števila zaporedoma deli z osnovo številskega sistema, dokler ne dobimo celega preostanka, ki je manjši od osnove številskega sistema. Rezultat prenosa bo zapis iz ostankov, začenši z zadnjim.

3. Pretvorite število 273 10 v osmiški številski sistem.
Odločitev: 273 / 8 = 34 in ostanek 1, 34 / 8 = 4 in ostanek 2, 4 je manjši od 8, tako da je izračun končan. Zapis iz ostankov bo videti takole: 421
Pregled: 4 8 2 +2 8 1 +1 8 0 = 256+16+1 = 273 = 273 , rezultat je enak. Torej je prevod pravilen.
odgovor: 273 10 = 421 8

Razmislimo o prevajanju pravilnih decimalnih ulomkov v različne številske sisteme.

Pretvorba ulomnega dela števila iz decimalnega številskega sistema v drug številski sistem

Spomnimo se, da je pravilen decimalni ulomek realno število z ničelnim celim delom. Če želite takšno število prevesti v številski sistem z osnovo N, morate število dosledno pomnožiti z N, dokler se ulomni del ne izprazni ali ne dobite zahtevanega števila števk. Če med množenjem dobimo število s celim delom, ki ni nič, se celo število ne upošteva naprej, saj se zaporedno vnese v rezultat.

4. Pretvorite število 0,125 10 v binarni številski sistem.
Odločitev: 0,125 2 = 0,25 (0 je celo število, ki bo prva številka rezultata), 0,25 2 = 0,5 (0 je druga številka rezultata), 0,5 2 = 1,0 (1 je tretja številka rezultata , in ker je ulomni del nič , je prevod končan).
odgovor: 0.125 10 = 0.001 2

Osnovni pojmi številskih sistemov

Številčni sistem je niz pravil in tehnik za pisanje števil z naborom digitalnih znakov. Število števk, potrebnih za pisanje števila v sistemu, se imenuje osnova številskega sistema. Osnova sistema je zapisana desno od števila v indeksu: ; ; itd.

Obstajata dve vrsti številskih sistemov:

pozicijski, ko je vrednost vsake števke števila določena z njenim položajem v zapisu števila;

nepozicijsko, ko vrednost števke v številu ni odvisna od njenega mesta v zapisu števila.

Primer nepozicijskega številskega sistema je rimski: števila IX, IV, XV itd. Primer pozicijskega številskega sistema je decimalni sistem, ki se uporablja vsak dan.

Vsako celo število v pozicijskem sistemu lahko zapišemo kot polinom:

kjer je S osnova številskega sistema;

Številke števila, zapisanih v danem številskem sistemu;

n je število števk števila.

Primer. Številka je zapisano v polinomski obliki, kot sledi:

Vrste številskih sistemov

Rimski številčni sistem je nepozicijski sistem. Za pisanje številk uporablja črke latinske abecede. V tem primeru črka I vedno pomeni ena, črka V pomeni pet, X pomeni deset, L pomeni petdeset, C pomeni sto, D pomeni petsto, M pomeni tisoč itd. Na primer, številka 264 je zapisana kot CCLXIV. Pri pisanju številk v rimskem številčnem sistemu je vrednost števila algebraična vsota števk, ki so v njem vključene. Hkrati pa števke v zapisu števila praviloma sledijo v padajočem vrstnem redu njihovih vrednosti in ni dovoljeno pisati več kot tri enake številke. V primeru, ko števki z večjo vrednostjo sledi številka z manjšo vrednostjo, je njen prispevek k vrednosti števila kot celote negativen. Tipični primeri, ki ponazarjajo splošna pravila zapisi številk v rimskem številčnem sistemu so podani v tabeli.

Tabela 2. Pisanje števil v rimskem številčnem sistemu

Pomanjkljivost rimskega sistema je pomanjkanje formalnih pravil za pisanje števil in s tem tudi aritmetičnih operacij z večmestnimi števili. Zaradi nevšečnosti in velike kompleksnosti se rimski številčni sistem trenutno uporablja tam, kjer je res priročno: v literaturi (številčenje poglavij), v papirologiji (serija potnih listov, vrednostnih papirjev itd.), za okrasne namene na številčnici ure in v številnih drugih primerih.

Decimalni številski sistem je trenutno najbolj znan in uporabljen. Izum desetiškega številskega sistema je eden glavnih dosežkov človeške misli. Brez nje sodobna tehnologija skoraj ne bi obstajala, kaj šele nastala. Razlog, zakaj je decimalni številski sistem postal splošno sprejet, sploh ni matematičen. Ljudje so navajeni šteti v decimalnem zapisu, ker imajo na rokah 10 prstov.

Starodavna podoba decimalnih števk (slika 1) ni naključna: vsaka številka označuje število s številom kotov v njej. Na primer, 0 - brez vogalov, 1 - en kot, 2 - dva vogala itd. Črkovanje decimalnih števk je doživelo pomembne spremembe. Oblika, ki jo uporabljamo, se je uveljavila v 16. stoletju.

Decimalni sistem se je prvič pojavil v Indiji okoli 6. stoletja našega štetja. Indijsko številčenje je uporabilo devet številskih znakov in nič za označevanje praznega položaja. V zgodnjih indijskih rokopisih, ki so prišli do nas, so bile številke zapisane v obratnem vrstnem redu - najpomembnejša številka je bila postavljena na desni. Toda kmalu je postalo pravilo, da takšno figuro postavimo na levo stran. Poseben pomen je bil pripisan ničelnemu simbolu, ki je bil uveden za pozicijski zapis. Indijsko številčenje, vključno z ničlo, je prišlo do našega časa. V Evropi so se hindujske metode decimalne aritmetike razširile v začetku 13. stoletja. zahvaljujoč delu italijanskega matematika Leonarda iz Pise (Fibonacci). Evropejci so si sposodili Indijski sistem računanje med Arabce, ki ga imenujejo arabsko. To zgodovinsko napačno ime je ohranjeno do danes.

Decimalni sistem uporablja deset števk - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 in 9 ter simbola "+" in "-" za označevanje predznaka števila in vejice oz. pika za ločevanje celih in ulomnih delov števila.

Računalniki uporabljajo binarni številski sistem, njegova osnova je številka 2. Za pisanje števil v tem sistemu se uporabljata samo dve števki - 0 in 1. V nasprotju s splošnim napačnim prepričanjem, dvojiškega številskega sistema niso izumili inženirji računalniškega oblikovanja, ampak matematiki in filozofi že dolgo pred pojavom računalnikov, nazaj v sedemnajstem in devetnajstem stoletju. Prvo objavljeno razpravo o dvojiškem številskem sistemu je španski duhovnik Juan Caramuel Lobkowitz (1670). Splošno pozornost na ta sistem je pritegnil članek nemškega matematika Gottfrieda Wilhelma Leibniza, objavljen leta 1703. Razlagal je binarne operacije seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja. Leibniz ni priporočal uporabe tega sistema za praktične izračune, je pa poudaril njegov pomen za teoretično raziskovanje. Sčasoma postane binarni številski sistem dobro znan in se razvija.

Izbira binarnega sistema za uporabo v računalniški tehnologiji je razložena z dejstvom, da so elektronski elementi - sprožilci, ki sestavljajo računalniška mikrovezja, lahko le v dveh delovnih stanjih.

S pomočjo binarnega kodirnega sistema je mogoče zapisati vse podatke in znanje. To je enostavno razumeti, če se spomnite načela kodiranja in prenosa informacij z uporabo Morsejeve abecede. Telegrafski operater, ki uporablja samo dva znaka te abecede - pike in pomišljaje, lahko prenese skoraj vsako besedilo.

Binarni sistem je priročen za računalnik, vendar neprijeten za osebo: številke so dolge in jih je težko zapisati in zapomniti. Seveda lahko številko pretvorite v decimalni sistem in jo zapišete v tej obliki, nato pa, ko jo morate prevesti nazaj, vendar so vsi ti prevodi zamudni. Zato se uporabljajo številski sistemi, ki so povezani z binarnim - osmiškim in šestnajstiškim. Za pisanje številk v teh sistemih je potrebnih 8 oziroma 16 števk. V šestnajstiški obliki je prvih 10 števk običajnih, nato pa se uporabljajo velike latinične črke. Šestnajstiška številka A ustreza decimalni številki 10, šestnajstiška B decimalki 11 itd. Uporaba teh sistemov je razložena s tem, da je prehod na zapis števila v katerem koli od teh sistemov iz njegovega dvojiškega zapisa zelo preprost. Spodaj je tabela ujemanja številk, zapisanih v različnih sistemih.

Tabela 3. Korespondenca števil, zapisanih v različnih številskih sistemih

Pravila za pretvorbo številk iz enega številskega sistema v drugega

Pretvorba števil iz enega številskega sistema v drugega je pomemben del strojne aritmetike. Upoštevajte osnovna pravila prevajanja.

1. Za prevod binarno število v decimalni obliki ga je treba zapisati kot polinom, sestavljen iz produktov števk števila in ustrezne moči števila 2, in izračunati po pravilih decimalne aritmetike:

Pri prevajanju je priročno uporabiti tabelo potenk dveh:

Tabela 4. Moči 2

Primer. Pretvorite število v decimalni številski sistem.

2. Če želite prevesti osmiško število v decimalno, ga je potrebno zapisati kot polinom, sestavljen iz produktov števk števila in ustrezne moči števila 8, in izračunati po pravilih decimalne aritmetike:

Pri prevajanju je priročno uporabiti tabelo potenk osmih:

Tabela 5. Moči 8

Številčni sistem (angleški številčni sistem ali sistem številčenja) - simbolna metoda pisanja številk, ki predstavlja števila z napisanimi znaki

Kaj je osnova in osnova številskega sistema?

Opredelitev: Osnova številskega sistema je število različnih znakov ali simbolov, ki
se uporabljajo za predstavitev številk v tem sistemu.
Za osnovo se vzame katero koli naravno število - 2, 3, 4, 16 itd. To pomeni, da obstaja neskončnost
veliko pozicijskih sistemov. Na primer, za decimalni sistem je osnova 10.

Določanje osnove je zelo enostavno, samo preračunati morate število pomembnih števk v sistemu. Preprosto povedano, to je številka, s katere se začne druga številka števila. Uporabljamo na primer števila 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Natanko jih je 10, zato je osnova našega številskega sistema tudi 10, številski sistem pa je imenovano "decimalno". Zgornji primer uporablja številke 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (pomožne 10, 100, 1000, 10000 itd. se ne štejejo). Obstaja tudi 10 glavnih števk, številski sistem pa je decimalni.

Sistemska osnova je zaporedje števk, uporabljenih za pisanje. V nobenem sistemu ni števke, ki je enaka bazi sistema.

Kot lahko uganete, koliko števil je, je lahko toliko osnov številskih sistemov. Vendar se uporabljajo samo najbolj priročne baze številskih sistemov. Zakaj menite, da je osnova najpogostejšega človeškega številskega sistema 10? Da, ravno zato, ker imamo 10 prstov na rokah. »A na eni roki je samo pet prstov,« bodo rekli nekateri in imeli bodo prav. Zgodovina človeštva pozna primere petkratnih številskih sistemov. "In z nogami - dvajset prstov" - bodo rekli drugi in imeli bodo tudi popolnoma prav. Tako so mislili Maji. To lahko vidite celo v njihovem številu.

Decimalni številski sistem

Vsi smo vajeni, da pri štetju uporabljamo številke in številke, ki so nam znane iz otroštva. En, dva, tri, štiri itd. V našem vsakdanjem številskem sistemu je le deset števk (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), iz katerih sestavimo poljubno število. Ko dosežemo deset, dodamo eno števki na levi in ​​ponovno začnemo šteti od nič na skrajni desni števki. Ta številski sistem se imenuje decimalni.

Ni težko uganiti, da so se naši predniki odločili zanj, ker je število prstov na obeh rokah deset. Toda kateri drugi številski sistemi obstajajo? Ali je bil vedno uporabljen decimalni sistem ali so bili drugi?

Zgodovina nastanka številskih sistemov

Pred izumom ničle so bila števila zapisana z uporabo posebne znake. Vsak narod je imel svoje. AT Stari Rim, na primer, prevladoval je nepozicijski številski sistem.

Številski sistem se imenuje nepozicijski, če vrednost števke ni odvisna od mesta, ki ga zaseda. Za najbolj napredne številske sisteme so veljali številski sistemi, ki so se uporabljali v Rusiji in stari Grčiji.

V njih velike številke označena s črkami, vendar z dodatkom dodatnih ikon (1 - a, 100 - i itd.). Drug nepozicijski številski sistem je bil tisti, ki so ga uporabljali v starem Babilonu. V svojem sistemu so prebivalci Babilona uporabljali zapis »dveh nadstropij« in samo treh znakov: ena v babilonskem številskem sistemu za eno, deset v babilonskem številskem sistemu za deset in nič v babilonskem številskem sistemu za nič.

Sistemi pozicijskih številk

Pozicijski sistemi so postali korak naprej. Zdaj je decimalka zmagala povsod, vendar obstajajo drugi sistemi, ki se pogosto uporabljajo v uporabnih znanostih. Primer takega številskega sistema je binarni številski sistem.
Binarni številski sistem

Na njej komunicirajo računalniki in vsa elektronika v vašem domu. V tem številskem sistemu sta uporabljeni samo dve števki: 0 in 1. Sprašujete, zakaj ni bilo mogoče naučiti računalnika šteti do deset, kot človeka? Odgovor leži na površini.

Stroj je enostavno naučiti razlikovati med dvema znakoma: vklopljeno pomeni 1, izklopljeno pomeni 0; obstaja tok - 1, tok ni - 0. Bili so poskusi izdelave strojev, ki bi lahko razlikovali večje število števk. Toda vsi so se izkazali za nezanesljive, računalniki so vedno zmedeni: bodisi 1 je prišel k njim, bodisi 2.

Obdaja nas veliko različnih številskih sistemov. Vsak od njih je uporaben na svojem področju. In odgovor na vprašanje, katere in kdaj uporabiti, ostaja pri nas.

Oznaka je metoda pisanja števila z uporabo določenega nabora posebnih znakov (številk).

Oznaka:

• daje predstavitev niza številk (celo število in/ali realno);

• daje vsakemu številu edinstveno predstavitev (ali vsaj standardno predstavitev);

• prikazuje algebraično in aritmetično strukturo števila.

Pisanje števila v nekem številskem sistemu se imenuje številska koda.

Imenuje se posamezen položaj na prikazu številke praznjenje, torej je številka položaja številka ranga.

Število števk v številu se imenuje bitna globina in se ujema z njegovo dolžino.

Številčni sistemi so razdeljeni na pozicijski in nepozicijski. Sistemi pozicijskih številk so razdeljeni

na homogena in mešano.

osmiški številski sistem, šestnajstiški številski sistem in drugi številski sistemi.

Prevajanje številskih sistemov.Številke je mogoče pretvoriti iz enega številskega sistema v drugega.

Korespondenčna tabela števil v različnih številskih sistemih.