U predmetima informatike, bez obzira na školu ili fakultet, posebno mjesto je dato konceptu kao što su sistemi brojeva. U pravilu se za to izdvaja nekoliko lekcija ili praktičnih vježbi. Osnovni cilj nije samo savladavanje osnovnih pojmova teme, proučavanje tipova brojevnih sistema, već i upoznavanje sa binarnom, oktalnom i heksadecimalnom aritmetikom.

Šta to znači?

Počnimo s definiranjem osnovnog koncepta. Kako se u udžbeniku "Informatika" navodi, brojevni sistem je zapis brojeva koji koristi posebnu abecedu ili određeni skup brojeva.

U zavisnosti od toga da li se vrednost cifre menja u zavisnosti od njenog položaja u broju, postoje dva: pozicijski i nepozicioni brojevni sistem.

U pozicionim sistemima, značenje cifre se menja sa njenom pozicijom u broju. Dakle, ako uzmemo broj 234, onda broj 4 u njemu znači jedinice, ali ako uzmemo u obzir broj 243, onda će to već značiti desetice, a ne jedinice.

U nepozicionim sistemima, značenje cifre je statičko, bez obzira na njenu poziciju u broju. Najupečatljiviji primjer je sistem štapića, gdje je svaka jedinica označena crticom. Nije bitno gdje stavite štap, vrijednost broja će se promijeniti samo za jedan.

Nepozicioni sistemi

Nepozicioni sistemi brojeva uključuju:

1. Jedinični sistem koji se smatra jednim od prvih. Koristio je štapove umjesto brojeva. Što ih je bilo više, to je broj bio veći. Primjere ovako napisanih brojeva možete pronaći u filmovima gdje mi pričamo o tome o ljudima izgubljenim na moru, zatvorenicima koji svaki dan obilježavaju urezima na kamenu ili drvetu.
2. Rimski, u kojem su umjesto brojeva korištena latinična slova. Koristeći ih, možete napisati bilo koji broj. Štaviše, njegova vrijednost je određena pomoću zbira i razlike cifara koje čine broj. Ako je lijevo od znamenke bio manji broj, tada se lijeva znamenka oduzimala od desne, a ako je znamenka s desne strane bila manja ili jednaka znamenki s lijeve strane, tada su se njihove vrijednosti zbrajale. Na primjer, broj 11 je napisan kao XI, a 9 - IX.
3. Abecedni, u kojem su brojevi označeni abecedom određenog jezika. Jedan od njih se smatra slovenski sistem, u kojem su brojna slova imala ne samo fonetsko, već i numeričko značenje.
4. u kojoj su za pisanje korištene samo dvije oznake - klinovi i strelice.
5. Egipat je takođe koristio posebne simbole za predstavljanje brojeva. Prilikom pisanja broja, svaki simbol se može koristiti najviše devet puta.

Sistemi položaja

U informatici se velika pažnja poklanja pozicionim brojevnim sistemima. To uključuje sljedeće:

• binarni;
• oktalno;
• decimalni;
• heksadecimalni;
• seksagezimalni, koji se koristi prilikom brojanja vremena (na primjer, ima 60 sekundi u minuti, 60 minuta u satu).

Svaki od njih ima svoju abecedu za pisanje, pravila za prevođenje i izvođenje aritmetičkih operacija.

Decimalni sistem

Ovaj sistem nam je najpoznatiji. Koristi brojeve od 0 do 9 za pisanje brojeva. Nazivaju se i arapskim. U zavisnosti od položaja cifre u broju, može predstavljati različite cifre - jedinice, desetice, stotine, hiljade ili milione. Koristimo ga svuda, znamo osnovna pravila po kojima se izvode aritmetičke operacije nad brojevima.

Binarni sistem

Jedan od glavnih brojevnih sistema u informatici je binarni. Njegova jednostavnost omogućava računaru da izvrši glomazne proračune nekoliko puta brže nego u decimalnom sistemu.

Za pisanje brojeva koriste se samo dvije cifre - 0 i 1. Štaviše, ovisno o poziciji 0 ili 1 u broju, njegova vrijednost će se promijeniti.

U početku su uz pomoć kompjutera dobijali sve potrebne informacije. U ovom slučaju, jedan je značio prisustvo signala koji se prenosi pomoću napona, a nula znači njegovo odsustvo.

Oktalni sistem

Još jedan dobro poznati kompjuterski sistem brojeva, koji koristi brojeve od 0 do 7. Koristio se uglavnom u onim oblastima znanja koje su povezane sa digitalnim uređajima. Ali nedavno se koristi mnogo rjeđe, jer je zamijenjen heksadecimalnim brojevnim sistemom.

Binarni decimalni sistem

Performanse veliki brojevi u binarnom sistemu za ljude, proces je prilično složen. Da bismo ga pojednostavili, razvijen je i obično se koristi u elektronskim satovima i kalkulatorima. U ovom sistemu se ne konvertuje ceo broj iz decimalnog sistema u binarni, već se svaka cifra pretvara u odgovarajući skup nula i jedinica u binarnom sistemu. Pretvorba iz binarnog u decimalni se odvija na sličan način. Svaka cifra, predstavljena kao četvorocifreni skup nula i jedinica, pretvara se u cifru decimalnog brojevnog sistema. U principu, nema ništa komplikovano.

Za rad s brojevima u ovom slučaju bit će korisna tablica brojevnih sistema koja će ukazati na korespondenciju između brojeva i njihovog binarnog koda.

Heksadecimalni sistem

Nedavno je heksadecimalni brojevni sistem postao sve popularniji u programiranju i informatici. Ne koristi samo brojeve od 0 do 9, već i niz latiničnih slova - A, B, C, D, E, F.

Istovremeno, svako od slova ima svoje značenje, dakle A=10, B=11, C=12 i tako dalje. Svaki broj je predstavljen kao skup od četiri znaka: 001F.

Pretvaranje brojeva: iz decimalnog u binarni

Prevođenje u brojevnim sistemima odvija se prema određenim pravilima. Najčešći prijevod s binarnog na decimalni sistem i obrnuto.

Da bi se broj iz decimalnog sistema pretvorio u binarni sistem, potrebno ga je uzastopno podijeliti osnovom brojevnog sistema, odnosno brojem dva. U tom slučaju, ostatak svake podjele mora biti zabilježen. To će se događati sve dok ostatak dijeljenja ne bude manji ili jednak jedan. Najbolje je izvršiti proračune u koloni. Rezultirajući ostaci dijeljenja se zatim upisuju u red obrnutim redoslijedom.

Na primjer, pretvorimo broj 9 u binarni:

Podijelimo 9, pošto broj nije djeljiv s cjelinom, onda uzimamo broj 8, ostatak će biti 9 - 1 = 1.

Nakon dijeljenja 8 sa 2, dobijamo 4. Podijelite ga ponovo, pošto je broj djeljiv cijelim brojem - dobijamo ostatak od 4 - 4 = 0.

Izvodimo istu operaciju sa 2. Ostatak je 0.

Kao rezultat dijeljenja dobijamo 1.

Bez obzira na konačni brojevni sistem, konverzija brojeva iz decimale u bilo koji drugi odvijat će se prema principu dijeljenja broja sa osnovom pozicijskog sistema.

Pretvaranje brojeva: iz binarnog u decimalni

Vrlo je lako pretvoriti brojeve u decimalni brojevni sistem iz binarnog. Da biste to učinili, dovoljno je znati pravila za podizanje brojeva na stepene. U ovom slučaju, na stepen dvojke.

Algoritam prevođenja je sljedeći: svaka znamenka iz koda binarnog broja mora se pomnožiti sa dva, a prve dvije će biti na stepen m-1, druga - m-2 i tako dalje, gdje je m broj cifara u kodu. Zatim dodajte rezultate sabiranja da dobijete cijeli broj.

Za školarce se ovaj algoritam može jednostavnije objasniti:

Za početak, uzimamo i zapisujemo svaku znamenku pomnoženu sa dva, a zatim stavljamo stepen dvojke s kraja, počevši od nule. Zatim zbrajamo dobijeni broj.

Kao primjer, analizirat ćemo ranije dobiveni broj 1001, pretvarajući ga u decimalni sistem, a istovremeno provjeriti ispravnost naših izračuna.

To će izgledati ovako:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

Kada proučavate ovu temu, zgodno je koristiti tabelu sa stepenom dvojke. Ovo će značajno smanjiti količinu vremena potrebnog za izvođenje proračuna.

Druge opcije prijevoda

U nekim slučajevima, prevod se može izvršiti između binarnog i oktalnog brojevnog sistema, binarnog i heksadecimalnog. U tom slučaju možete koristiti posebne tablice ili pokrenuti aplikaciju kalkulatora na svom računalu odabirom opcije „Programer“ na kartici Prikaz.

Aritmetičke operacije

Bez obzira na oblik u kojem je broj predstavljen, može se koristiti za izvođenje nama poznatih proračuna. To može biti dijeljenje i množenje, oduzimanje i sabiranje u brojevnom sistemu koji ste odabrali. Naravno, svako od njih ima svoja pravila.

Dakle, za binarni sistem su razvijene sopstvene tabele za svaku od operacija. Iste tablice se koriste u drugim pozicionim sistemima.

Nema potrebe da ih pamtite - samo ih odštampajte i držite ih pri ruci. Takođe možete koristiti kalkulator na svom računaru.

Jedna od najvažnijih tema u informatici je sistem brojeva. Poznavanje ove teme, razumijevanje algoritama za pretvaranje brojeva iz jednog sistema u drugi je ključ za činjenicu da ćete moći razumjeti više teške teme, kao što su algoritamizacija i programiranje, i moći ćete sami napisati svoj prvi program.

S ovim online kalkulator Možete pretvoriti cijele i razlomke iz jednog brojevnog sistema u drugi. Dato je detaljno rješenje sa objašnjenjima. Za prevod, unesite originalni broj, postavite bazu brojevnog sistema izvornog broja, postavite bazu brojevnog sistema u koji želite da konvertujete broj i kliknite na dugme "Prevedi". U nastavku pogledajte teoretski dio i numeričke primjere.

Rezultat je već primljen!

Pretvaranje cijelih brojeva i razlomaka iz jednog brojevnog sistema u bilo koji drugi - teorija, primjeri i rješenja

Postoje pozicioni i nepozicioni sistemi brojeva. Arapski sistem brojeva koji koristimo Svakodnevni život, je poziciona, ali Roman nije. U pozicionim brojevnim sistemima, pozicija broja jednoznačno određuje veličinu broja. Razmotrimo ovo na primjeru broja 6372 u decimalnom brojevnom sistemu. Numerimo ovaj broj s desna na lijevo počevši od nule:

Tada se broj 6372 može predstaviti na sljedeći način:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

Broj 10 određuje sistem brojeva (u ovom slučaju to je 10). Vrijednosti pozicije datog broja uzimaju se kao potencije.

Razmotrimo pravi decimalni broj 1287.923. Numerimo ga počevši od nulte pozicije broja od decimalnog zareza lijevo i desno:

Tada se broj 1287.923 može predstaviti kao:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3.

Općenito, formula se može predstaviti na sljedeći način:

C n s n +C n-1 · s n-1 +...+C 1 · s 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k

gdje je C n cijeli broj na poziciji n, D -k - razlomak na poziciji (-k), s- sistem brojeva.

Nekoliko riječi o brojevnim sistemima Broj u decimalnom brojevnom sistemu sastoji se od mnogo cifara (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), u oktalnom brojevnom sistemu se sastoji od mnogo cifara (0,1, 2,3,4,5,6,7), u binarnom brojevnom sistemu - iz skupa cifara (0,1), u heksadecimalnom brojevnom sistemu - iz skupa cifara (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), pri čemu A,B,C,D,E,F odgovaraju brojevima 10,11, 12,13,14,15 U tabeli Tab.1 brojevi su prikazani u različitim brojevnim sistemima.

Pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sistema u drugi

Za konvertovanje brojeva iz jednog brojevnog sistema u drugi, najlakši način je da prvo konvertujete broj u decimalni brojevni sistem, a zatim konvertujete iz decimalnog brojevnog sistema u traženi brojni sistem.

Pretvaranje brojeva iz bilo kojeg brojevnog sistema u decimalni brojevni sistem

Koristeći formulu (1), možete pretvoriti brojeve iz bilo kojeg brojevnog sistema u decimalni brojevni sistem.

Primjer 1. Pretvorite broj 1011101.001 iz binarnog brojevnog sistema (SS) u decimalni SS. Rješenje:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

Primjer2. Pretvorite broj 1011101.001 iz oktalnog brojevnog sistema (SS) u decimalni SS. Rješenje:

Primjer 3 . Pretvorite broj AB572.CDF iz heksadecimalnog brojnog sistema u decimalni SS. Rješenje:

Evo A-zamijenjeno sa 10, B- u 11, C- u 12, F- do 15.

Pretvaranje brojeva iz decimalnog brojevnog sistema u drugi brojevni sistem

Da biste pretvorili brojeve iz decimalnog brojevnog sistema u drugi brojevni sistem, potrebno je da zasebno konvertujete celobrojni deo broja i razlomak broja.

Cjelobrojni dio broja se pretvara iz decimalnog SS u drugi brojevni sistem uzastopnim dijeljenjem cijelog broja sa osnovom brojevnog sistema (za binarni SS - sa 2, za 8-arni SS - sa 8, za 16 -ary SS - za 16, itd. ) dok se ne dobije cijeli ostatak, manji od baze CC.

Primjer 4 . Pretvorimo broj 159 iz decimalnog SS u binarni SS:

Kao što se može vidjeti sa sl. 1, broj 159 kada se podijeli sa 2 daje količnik 79 i ostatak 1. Nadalje, broj 79 kada se podijeli sa 2 daje količnik 39 i ostatak 1, itd. Kao rezultat toga, konstruirajući broj iz ostataka dijeljenja (s desna na lijevo), dobijamo broj u binarnom SS: 10011111 . Stoga možemo napisati:

159 10 =10011111 2 .

Primjer 5 . Pretvorimo broj 615 iz decimalnog SS u oktalni SS.

Kada konvertujete broj iz decimalnog SS u oktalni SS, morate redom broj deliti sa 8 dok ne dobijete celobrojni ostatak manji od 8. Kao rezultat toga, konstruisanjem broja od ostataka deljenja (s desna na levo) dobijamo broj u oktalnom SS: 1147 (vidi sliku 2). Stoga možemo napisati:

615 10 =1147 8 .

Primjer 6 . Pretvorimo broj 19673 iz decimalnog brojevnog sistema u heksadecimalni SS.

Kao što se može vidjeti sa slike 3, uzastopnim dijeljenjem broja 19673 sa 16, ostatci su 4, 12, 13, 9. U heksadecimalnom brojevnom sistemu, broj 12 odgovara C, broj 13 D. Dakle, naš heksadecimalni broj je 4CD9.

Da biste konvertovali regularne decimalne razlomke (realan broj sa celim delom nula) u brojevni sistem sa osnovom s, potrebno je ovaj broj sukcesivno množiti sa s dok razlomak ne sadrži čistu nulu, ili dobijemo traženi broj cifara . Ako se tokom množenja dobije broj čiji je cijeli broj različit od nule, onda se ovaj cijeli dio ne uzima u obzir (oni su sekvencijalno uključeni u rezultat).

Pogledajmo gore navedeno s primjerima.

Primjer 7 . Pretvorimo broj 0,214 iz decimalnog brojevnog sistema u binarni SS.

Kao što se može vidjeti sa slike 4, broj 0,214 se sekvencijalno množi sa 2. Ako je rezultat množenja broj čiji je cijeli broj različit od nule, tada se cijeli dio piše zasebno (lijevo od broja), a broj je zapisan cijelim dijelom nula. Ako množenje rezultira brojem s cijelim dijelom nula, tada se nula upisuje lijevo od njega. Proces množenja se nastavlja sve dok razlomak ne dostigne čistu nulu ili dok ne dobijemo potreban broj znamenki. Upisivanjem podebljanih brojeva (slika 4) od vrha do dna dobijamo traženi broj u binarnom brojevnom sistemu: 0. 0011011 .

Stoga možemo napisati:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Primjer 8 . Pretvorimo broj 0,125 iz decimalnog brojevnog sistema u binarni SS.

Da bi se broj 0,125 pretvorio iz decimalnog SS u binarni, ovaj broj se uzastopno množi sa 2. U trećoj fazi, rezultat je 0. Kao rezultat toga, dobije se sljedeći rezultat:

0.125 10 =0.001 2 .

Primjer 9 . Pretvorimo broj 0,214 iz decimalnog brojevnog sistema u heksadecimalni SS.

Slijedeći primjere 4 i 5, dobijamo brojeve 3, 6, 12, 8, 11, 4. Ali u heksadecimalnom SS, brojevi 12 i 11 odgovaraju brojevima C i B. Dakle, imamo:

0,214 10 =0,36C8B4 16 .

Primjer 10 . Pretvorimo broj 0,512 iz decimalnog brojevnog sistema u oktalni SS.

dobio:

0.512 10 =0.406111 8 .

Primjer 11 . Pretvorimo broj 159.125 iz decimalnog brojevnog sistema u binarni SS. Da bismo to učinili, prevodimo odvojeno cijeli dio broja (Primjer 4) i razlomak broja (Primjer 8). Daljnjim kombinovanjem ovih rezultata dobijamo:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Primjer 12 . Pretvorimo broj 19673.214 iz decimalnog brojevnog sistema u heksadecimalni SS. Da bismo to učinili, prevodimo odvojeno cijeli dio broja (Primjer 6) i razlomak broja (Primjer 9). Dalje, kombinujući ove rezultate dobijamo.

Postoji mnogo načina za predstavljanje brojeva. U svakom slučaju, broj je predstavljen simbolom ili grupom simbola (rečju) nekog alfabeta. Takvi simboli se nazivaju brojevi.

Sistemi brojeva

Nepozicioni i pozicioni sistemi brojeva koriste se za predstavljanje brojeva.

Nepozicioni sistemi brojeva

Čim su ljudi počeli da broje, počeli su da imaju potrebu da zapisuju brojeve. Arheološki nalazi na lokalitetima primitivni ljudi označavaju da je u početku broj objekata prikazan jednakim brojem nekakvih ikona (tagova): zareze, crtice, tačke. Kasnije su, da bi se olakšalo brojanje, ove ikone počele da se grupišu u grupe od po tri ili pet. Ovaj sistem pisanja brojeva se zove jedinica (unarna), budući da se bilo koji broj u njemu formira ponavljanjem jednog znaka, koji simbolizira jedan. Odjeci sistema brojeva jedinica nalaze se i danas. Dakle, da biste saznali na kojem smjeru studira kadet vojne škole, morate izbrojati koliko mu je pruga ušiveno na rukavu. I ne svjesna, djeca koriste sistem brojeva, pokazujući svoje godine na prstima, a štapići za brojanje se koriste da uče učenike 1. razreda kako da broje. Pogledajmo različite sisteme brojeva.

Sistem jedinica nije najpogodniji način za pisanje brojeva. Snimanje velikih količina na ovaj način je zamorno, a sami zapisi su veoma dugi. Vremenom su se pojavili drugi, pogodniji sistemi brojeva.

Drevni egipatski decimalni nepozicioni brojevni sistem. Oko trećeg milenijuma pre nove ere, stari Egipćani su smislili sopstveni numerički sistem, u kojem su ključni brojevi bili 1, 10, 100 itd. korištene su posebne ikone - hijeroglifi. Svi ostali brojevi su sastavljeni od ovih ključnih brojeva pomoću operacije sabiranja. Notacija Drevni Egipat je decimalni, ali nije pozicioniran. U nepozicionim brojevnim sistemima, kvantitativni ekvivalent svake cifre ne zavisi od njenog položaja (mesta, pozicije) u zapisu brojeva. Na primjer, da bi se prikazao 3252, nacrtana su tri lotosova cvijeta (tri hiljade), dva smotana palmina lista (dvije stotine), pet lukova (pet desetica) i dva stupa (dvije jedinice). Veličina broja nije ovisila o redoslijedu kojim su se nalazili njegovi sastavni znakovi: mogli su se pisati odozgo prema dolje, s desna na lijevo ili isprepleteni.

Rimski sistem brojeva. Primjer nepozicionog sistema koji je preživio do danas je brojevni sistem, koji se koristio prije više od dvije i po hiljade godina u Drevni Rim. Rimski sistem brojeva zasnivao se na znakovima I (jedan prst) za broj 1, V (otvoreni dlan) za broj 5, X (dva sklopljena dlana) za 10, a počela su se pojavljivati ​​prva slova odgovarajućih latinskih riječi. koristi se za označavanje brojeva 100, 500 i 1000 (Centum – sto, Demimille – pola hiljade, Mille – hiljadu). Da bi zapisali broj, Rimljani su ga razlagali na zbir hiljada, pola hiljade, stotine, pedeset, desetice, pete, jedinice. Na primjer, decimalni broj 28 je predstavljen na sljedeći način:

XXVIII=10+10+5+1+1+1 (dve desetice, potpetice, tri jedinice).

Za snimanje međubrojeva, Rimljani su koristili ne samo zbrajanje, već i oduzimanje. U ovom slučaju je primijenjeno sljedeće pravilo: svaki manji znak koji se nalazi desno od većeg dodaje se njegovoj vrijednosti, a svaki manji znak koji se nalazi lijevo od većeg se oduzima od njega. Na primjer, IX znači 9, XI znači 11.

Decimalni broj 99 ima sljedeći prikaz:

XCIH = –10+100–1+10.

Rimski brojevi se koriste veoma dugo. Još prije 200 godina u poslovnim papirima brojevi su morali biti označeni rimskim brojevima (vjerovalo se da je obične arapske brojeve lako krivotvoriti). Rimski brojčani sistem se danas koristi uglavnom za imenovanje značajnih datuma, tomova, odjeljaka i poglavlja u knjigama.

Abecedni sistemi brojeva. Alfabetski sistemi su bili napredniji nepozicioni brojevni sistemi. Takvi sistemi brojeva uključivali su grčki, slovenski, fenički i druge. U njima su slovima abecede označeni brojevi od 1 do 9, cijeli brojevi desetica (od 10 do 90) i cijeli brojevi stotina (od 100 do 900). U alfabetskom sistemu brojeva Ancient Greece brojevi 1, 2, ..., 9 označeni su sa prvih devet slova grčkog alfabeta, itd. Sljedećih 9 slova korišteno je za označavanje brojeva 10, 20, ..., 90, a posljednjih 9 slova za označavanje brojeva 100, 200, ..., 900.

U slovenski narodi numeričke vrijednosti pisma su uspostavljena po redu slovenskog pisma, koje je prvo koristilo glagoljicu, a zatim ćirilicu.

U Rusiji se slovenska numeracija očuvala do kraja 17. veka. Pod Petrom I prevladala je takozvana arapska numeracija koju i danas koristimo. Slovenska numeracija sačuvana je samo u liturgijskim knjigama.

Nepozicioni sistemi brojeva imaju niz značajnih nedostataka:

• Postoji stalna potreba za uvođenjem novih simbola za snimanje velikih brojeva.

• Nemoguće je predstaviti razlomke i negativne brojeve.

• Aritmetičke operacije je teško izvoditi jer ne postoje algoritmi za njihovo izvođenje.

Pozicioni sistemi brojeva

U pozicionim brojevnim sistemima, kvantitativni ekvivalent svake cifre zavisi od njene pozicije (pozicije) u kodu (zapisu) broja. Danas smo navikli da koristimo decimalni pozicioni sistem - brojevi se pišu pomoću 10 cifara. Krajnja desna cifra označava jedinice, ona lijevo - desetice, još dalje lijevo - stotine itd.

Na primjer: 1) seksagezimalni (Drevni Vavilon) – prvi pozicioni brojevni sistem. Do sada se pri mjerenju vremena koristila baza od 60 (1min = 60s, 1h = 60min); 2) duodecimalni brojevni sistem (broj 12—“tucet“—bio je naširoko korišćen u 19. veku: ima dva tuceta sati u danu). Brojanje ne prstima, već zglobovima. Svaki prst, osim palca, ima 3 zgloba - ukupno 12; 3) trenutno najčešći pozicioni brojevni sistemi su decimalni, binarni, oktalni i heksadecimalni (široko se koriste u programiranju niskog nivoa i općenito u kompjuterskoj dokumentaciji, budući da je u modernim računarima minimalna jedinica memorije 8-bitni bajt, vrijednosti od kojih su zgodno napisane u dvije heksadecimalne cifre).

U bilo kom pozicionom sistemu, broj se može predstaviti kao polinom.

Hajde da pokažemo kako decimalni broj predstaviti kao polinom:

Vrste brojevnih sistema

Najvažnija stvar koju trebate znati o brojevnom sistemu je njegov tip: aditivni ili multiplikativni. U prvom tipu svaka cifra ima svoje značenje, a za čitanje broja potrebno je sabrati sve vrijednosti korištenih cifara:

XXXV = 10+10+10+5 = 35; CCXIX = 100+100+10–1+10 = 219;

U drugom tipu svaka cifra može imati različita značenja u zavisnosti od njegove lokacije u broju:

(hijeroglifi po redu: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)

Ovdje se hijeroglif “2” koristi dva puta, iu svakom slučaju dobija različita značenja “2000” i “20”.

2´ 1000 + 4´ 100+2´ 10+5 = 2425

Za aditivni („dodatni“) sistem morate znati sve brojeve i simbole sa njihovim značenjima (ima ih do 4-5 desetina), te redoslijed snimanja. Na primjer, u latinskoj notaciji, ako je manja cifra napisana prije veće, onda se vrši oduzimanje, a ako nakon, onda sabiranje (IV = (5–1) = 4; VI = (5+1) = 6) .

Za multiplikativni sistem morate znati sliku brojeva i njihovo značenje, kao i osnovu brojevnog sistema. Određivanje baze je vrlo jednostavno, potrebno je samo preračunati količinu značajne figure u sistemu. Pojednostavljeno rečeno, ovo je broj od kojeg počinje druga znamenka broja. Na primjer, koristimo brojeve 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ima ih tačno 10, tako da je osnova našeg brojevnog sistema također 10, a brojni sistem je naziva "decimalno". Gornji primjer koristi brojeve 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (pomoćni 10, 100, 1000, 10000, itd. se ne računaju). Ovdje se također nalazi 10 glavnih brojeva, a brojni sistem je decimalni.

Kao što možete pretpostaviti, koliko brojeva ima, toliko može biti i baza brojevnog sistema. Ali koriste se samo najpogodnije baze brojevnih sistema. Zašto mislite da je baza najčešće korišćenog ljudskog brojevnog sistema 10? Da, upravo zato što imamo 10 prstiju na rukama. „Ali ima samo pet prstiju na jednoj ruci“, reći će neki i biće u pravu. Istorija čovječanstva poznaje primjere petostrukih brojevnih sistema. „A sa nogama ima dvadeset prstiju“, reći će drugi, i takođe će biti potpuno u pravu. To je upravo ono što su Maje vjerovale. To se čak vidi i po njihovom broju.

Koncept "tuceta" je veoma zanimljiv. Svi znaju da je ovo 12, ali malo ljudi zna odakle taj broj. Pogledajte svoje ruke, tačnije, jednu ruku. Koliko falangi ima na svim prstima jedne ruke, ne računajući palac? Tako je, dvanaest. A thumb namijenjen da označi izbrojane falange.

A ako, s druge strane, prstima označimo broj punih desetina, dobićemo dobro poznati seksagezimalni vavilonski sistem.

Različite civilizacije su brojale različito, ali čak i sada možete pronaći u jeziku, u imenima i slikama brojeva, ostatke potpuno različitih brojevnih sistema koje su nekada koristili ovi ljudi.

Dakle, Francuzi su nekada imali sistem brojeva sa bazom 20, pošto 80 na francuskom zvuči kao „četiri puta dvadeset“.

Rimljani, ili njihovi prethodnici, nekada su koristili petostruki sistem, jer V nije ništa drugo do slika dlana sa ispruženim palcem, a X su dvije iste ruke.

| § 1.1. Sistemi brojeva

Lekcije 2 - 5
§ 1.1. Sistemi brojeva

Ključne riječi:

Notacija
broj
abeceda
pozicioni brojevni sistem
baza
prošireni oblik pisanja broja
skupljeni oblik pisanja broja
binarni sistem brojeva
oktalni brojevni sistem
heksadecimalni brojni sistem

1.1.1. Opće informacije o brojevnim sistemima

Brojevni sistem je sistem znakova u kojem se usvajaju određena pravila za pisanje brojeva.. Pozivaju se znaci kojima se pišu brojevi (slika 1.1). u brojevima, a njihova ukupnost je abeceda brojevnog sistema.

Rice. 1.1. Znakovi koji se koriste za pisanje brojeva u različitim brojevnim sistemima

U bilo kom brojevnom sistemu, cifre se koriste za označavanje brojeva koji se nazivaju brojevi čvorova; preostali brojevi (algoritamski) se dobijaju kao rezultat nekih operacija iz brojeva čvorova.

Primjer 1. Među Vaviloncima, ključni brojevi su bili 1, 10, 60; u rimskom numeričkom sistemu, ključni brojevi su 1, 5, 10, 50, 100, 500 i 1000, označeni kao I, V, X, L, C, D, M, respektivno.

Brojni sistemi se razlikuju po izboru nodalnih brojeva i metodama generisanja algoritamskih brojeva. Mogu se razlikovati sljedeće vrste brojevnih sistema:

1) unarni sistem;
2) nepozicioni sistemi;
3) pozicioni sistemi.

Najjednostavniji i najstariji sistem je takozvani unarni brojevni sistem. Koristi samo jedan simbol za pisanje brojeva - štap, čvor, zarez, kamenčić. Dužina broja u ovom kodiranju direktno je povezana s njegovom vrijednošću, što ovu metodu čini sličnim geometrijskom predstavljanju brojeva u obliku segmenata. To je unarni sistem koji leži u osnovi aritmetike i upravo taj sistem još uvijek uvodi prvašiće u svijet brojanja. Unarni sistem se takođe naziva sistem oznaka.

Brojevni sistem se naziva nepozicionim ako kvantitativni ekvivalent (kvantitativna vrijednost) cifre u broju ne zavisi od njenog položaja u zapisu broja.

U većini nepozicionih brojevnih sistema, brojevi se formiraju dodavanjem brojeva čvorova.

Primjer 2. IN staroegipatski U brojevnom sistemu brojevi 1, 2, 3, 4, 10, 13, 40 su označeni na sledeći način:

Isti brojevi u Roman Sistem brojeva je označen na sljedeći način: I, II, III, IV, X, XIII, XL. Ovdje se algoritamski brojevi dobijaju sabiranjem i oduzimanjem ključnih brojeva, uzimajući u obzir sljedeće pravilo: svaki manji znak koji se nalazi desno od većeg dodaje se njegovoj vrijednosti, a svaki manji znak koji se nalazi lijevo od većeg se oduzeto od toga.

Brojevni sistem se naziva pozicijskim ako kvantitativni ekvivalent cifre zavisi od njegove pozicije (pozicije) u zapisu broja. Osnova pozicionog brojevnog sistema jednaka je broju cifara koje čine njegovu abecedu.

Decimalni brojni sistem, koji smo navikli koristiti u svakodnevnom životu, s kojim smo upoznati od djetinjstva, u kojem provodimo sve svoje proračune - primjer pozicionog brojevnog sistema. Abeceda decimalnog sistema sastoji se od brojeva O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Algoritamski brojevi se u njemu formiraju na sljedeći način: vrijednosti brojeva se množe sa "težine" odgovarajućih cifara, a sve rezultirajuće vrijednosti se zbrajaju. To se jasno vidi u brojevima ruskog jezika, na primjer: „ trista pet deset sedam».

Osnova pozicionog brojevnog sistema može biti bilo koja prirodni broj q > 1. Abeceda proizvoljnog pozicionog brojevnog sistema sa osnovom q su brojevi O, 1, ..., q-1, od kojih se svaki može napisati pomoću jednog jedinstvenog simbola; Najniža cifra je uvijek O.

Glavne prednosti bilo kojeg pozicionog brojevnog sistema su jednostavnost izvođenja aritmetičkih operacija i ograničen broj simbola potrebnih za pisanje bilo kojeg broja.

ovdje:

Broj;




q i - “težina” i-te cifre.

Pisanje broja pomoću formule (1) naziva se prošireni oblik pisanja. Sažeti oblik pisanja broja je njegov prikaz u obliku 1

Primjer 3. Razmotrimo decimalni broj 14351.1. Njegov skupljeni oblik zapisa toliko je poznat da ne primjećujemo kako u našim mislima prelazimo na proširenu notaciju, množeći znamenke broja s "težinama" znamenki i zbrajamo rezultirajuće proizvode:

1.1.2. Binarni sistem brojeva

Binarni brojevni sistem je pozicioni brojevni sistem sa bazom 2. Za pisanje brojeva u binarnom brojevnom sistemu koriste se samo dve cifre: 0 i 1.

Na osnovu formule (1) za binarne cijele brojeve možemo napisati:

Na primjer:

Ovaj oblik pisanja „predlaže“ pravilo za pretvaranje prirodnih binarnih brojeva u decimalni brojevni sistem: potrebno je izračunati zbir stepena dva koji odgovaraju jedinicama u sažetom obliku pisanja binarnog broja.

Dobijmo pravilo za pretvaranje cijelih decimalnih brojeva u binarni sistem brojeva iz formule (1").

Podijelite sa 2. Kvocijent će biti jednak , a ostatak će biti jednak a 0 .

Podijelimo ponovo dobijeni količnik sa 2, ostatak podjele će biti jednak 1.

Ako nastavimo ovaj proces podjele, onda n-m korak dobijamo skup brojeva:

koji su uključeni u binarnu reprezentaciju originalnog broja i poklapaju se s ostacima kada se sekvencijalno podijeli sa 2.

Dakle, da biste konvertovali celobrojni decimalni broj u binarni brojevni sistem, potrebno je da uzastopno podelite dati broj i rezultirajuće celobrojne količnike sa 2 dok ne dobijete količnik jednak nuli. Originalni broj u binarnom brojevnom sistemu sastavlja se uzastopnim bilježenjem rezultujućih ostataka, počevši od posljednjeg.

Primjer 4. Pretvorimo decimalni broj 11 u binarni brojevni sistem. Redoslijed radnji o kojima se raspravljalo (algoritam prijevoda) može se opisati na sljedeći način:

Zapisujući ostatke dijeljenja u smjeru koji pokazuje strelica, dobijamo: 11 10 = 1011 2.

Primjer 5. Ako je decimalni broj dovoljno velik, onda je prikladniji sljedeći način pisanja algoritma o kojem smo gore govorili:

363 10 = 101101011 2

1.1.3. Oktalni sistem brojeva

Oktalni brojevni sistem je pozicioni brojevni sistem sa osnovom 8. Za pisanje brojeva u oktalnom brojevnom sistemu koriste se sljedeći brojevi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Na osnovu formule (1) za oktalni cijeli broj možemo napisati:

Na primjer: 1063 8 = 1 8 3 + 0 8 2 + 6 8 1 + 3 8 0 = 563 10 .

Dakle, da biste konvertovali celobrojni oktalni broj u decimalni brojevni sistem, trebalo bi da pređete na njegov prošireni oblik i izračunate vrednost rezultirajućeg izraza.

Da biste pretvorili cjelobrojni decimalni broj u oktalni brojevni sistem, morate uzastopno podijeliti dati broj i rezultirajuće cjelobrojne količnike sa 8 dok ne dobijete količnik jednak nuli. Originalni broj u novom brojevnom sistemu sastavlja se uzastopnim bilježenjem rezultirajućeg stanja, počevši od posljednjeg.

Primjer 6. Pretvorimo decimalni broj 103 u oktalni brojevni sistem.

103 10 = 147 8

1.1.4. Heksadecimalni sistem brojeva

Baza: q = 16.

Abeceda: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Ovdje samo deset od šesnaest cifara ima općeprihvaćenu oznaku 0,..., 9. Za pisanje brojeva s decimalnim kvantitativnim ekvivalentima 10, 11, 12, 13, 14, 15, obično je prvih pet slova latinice korišteno.

Dakle, ulazak 3AF 16 znači:

Primjer 7. Pretvorimo decimalni broj 154 u heksadecimalni brojevni sistem.

154 10 = 9A 16

1.1.5. Pravilo za pretvaranje cijelih decimalnih brojeva u brojevni sistem sa osnovom q

Za pretvaranje cjelobrojnog decimalnog broja u brojevni sistem s osnovom g:

1) sekvencijalno podelimo dati broj i dobijene celobrojne količnike sa osnovom novog brojevnog sistema dok ne dobijemo količnik jednak nuli;
2) dobijena stanja, koja su cifre broja u novom brojevnom sistemu, uskladi sa azbukom novog brojevnog sistema;
3) sastaviti broj u novom brojevnom sistemu, zapisujući ga počevši od poslednjeg primljenog ostatka.

Hajde da predstavimo tabelu korespondencije između decimalnih, binarnih, oktalnih i heksadecimalnih brojeva od O do 20 10.

Jedinstvena zbirka digitalnih obrazovnih resursa (http://sc.edu.ru/) sadrži interaktivnu animaciju „Pretvaranje decimalnog broja u drugi brojevni sistem“ (135050). Uz njegovu pomoć možete promatrati prevođenje proizvoljnog cijelog broja od 0 do 512 u pozicijski brojevni sistem, čija baza ne prelazi 16.

U virtuelnoj laboratoriji “Digitalne vage” (135009) koja se nalazi tamo, možete naučiti još jedan način pretvaranja cijelih decimalnih brojeva u druge brojevne sisteme – metodu razlika.

1.1.6. Binarna aritmetika

Aritmetika binarnog brojevnog sistema zasniva se na korišćenju sledećih tablica sabiranja i množenja:

Primjer 8. Tabela binarnog sabiranja je izuzetno jednostavna. Pošto je 1 + 1 = 10, onda 0 ostaje u najmanjoj cifri, a 1 se prenosi na najznačajniju znamenku.

Primjer 9. Operacija množenja binarnih brojeva izvodi se prema uobičajenoj šemi koja se koristi u decimalnom brojevnom sistemu, uz sekvencijalno množenje množitelja sa sljedećom cifrom množitelja.

Tako se u binarnom brojevnom sistemu množenje svodi na pomake množenika i sabiranja.

1.1.7. „Kompjuterski“ sistemi brojeva

Računarska tehnologija koristi binarni sistem brojeva, koji pruža niz prednosti u odnosu na druge sisteme brojeva:

Binarni brojevi su predstavljeni u kompjuteru koristeći prilično jednostavne tehničke elemente sa dva stabilna stanja;
prezentacija informacija kroz samo dva stanja je pouzdana i otporna na buku;
binarna aritmetika je najjednostavnija;
Postoji matematički aparat koji omogućava logičke transformacije binarnih podataka.

Razmjena informacija između kompjuterskih uređaja vrši se prijenosom binarnih kodova. Za osobu je nezgodno koristiti takve kodove zbog njihove velike dužine i vizuelne uniformnosti. Stoga stručnjaci (programeri, inženjeri) u nekim fazama razvoja, stvaranja i konfiguracije računalnih sistema zamjenjuju binarne kodove ekvivalentnim vrijednostima u oktalnim ili heksadecimalnim sistemima brojeva. Kao rezultat toga, dužina originalne riječi se smanjuje za tri, odnosno četiri puta. Ovo čini informacije pogodnijim za pregled i analizu.

Koristeći izvor „Interaktivna knjiga zadataka, odjeljak „Sistemi brojeva““ (128659), koji se nalazi u Jedinstvenoj zbirci digitalnih obrazovnih resursa, možete provjeriti koliko ste dobro savladali gradivo proučavano u ovom odlomku.

NAJVAŽNIJI

Brojevni sistem je sistem znakova u kojem se usvajaju određena pravila za pisanje brojeva. Znakovi kojima se zapisuju brojevi nazivaju se cifre, a njihova kombinacija se naziva abeceda brojevnog sistema.

Brojevni sistem se naziva pozicijskim ako kvantitativni ekvivalent cifre zavisi od njegove pozicije (pozicije) u zapisu broja. Osnova pozicionog brojevnog sistema jednaka je broju cifara koje čine njegovu abecedu.

Osnova pozicionog brojevnog sistema može biti bilo koji prirodan broj q > 1.

U pozicionom brojevnom sistemu sa osnovom q, bilo koji broj se može predstaviti kao:

ovdje:

Broj;
q - osnova brojevnog sistema;
a i - brojevi koji pripadaju abecedi datog brojevnog sistema;
n - broj cijelih cifara;
m - broj razlomaka broja;
q i - “težina” i-te cifre.

Pitanja i zadaci

1. Pročitajte materijale za prezentaciju paragrafa koji se nalazi u elektronskom dodatku udžbenika. Šta možete reći o oblicima prezentacije informacija u prezentaciji i u udžbeniku? Koje slajdove možete dodati svojoj prezentaciji?

2. Pronađite više informacija o unarnim, pozicionim i nepozicionim brojevnim sistemima. Po čemu se razlikuju? Navedite primjere.

3. Brojevi čiji su sistemi brojeva prikazani na sl. 1.1?

4. Objasnite zašto se pozicioni sistemi brojeva sa bazama 5, 10, 12 i 20 nazivaju anatomskim brojevnim sistemima.

5. Kako preći sa skupljenog oblika pisanja decimalnog broja na njegov prošireni oblik?

6. Zapišite brojeve u proširenom obliku:

a) 143.511 10;
b) 143511 8;
c) 143511 16;
d) 1435,11 8

7. Izračunajte decimalne ekvivalente sljedećih brojeva:

a) 172 8;
b) 2EA 16;
c) 101010 2;
d) 10,1 2;
e) 243 6.

8. Navedite koji je od brojeva 110011 2, 111 4, 35 8 i 1B 16:

a) najveći;
b) najmanji.

9. Koju minimalnu osnovu ima brojevni sistem ako su u njemu napisani brojevi 123, 222, 111, 241? Odrediti decimalni ekvivalent ovih brojeva u pronađenom brojevnom sistemu.

10. Da li su sljedeće jednakosti tačne?

a) 33 4 = 21 7;
b) 33 8 = 21 4.

11. Pronađite bazu x brojevnog sistema ako:

a) 14 x = 9 10;
b) 2002 x . = 130 10 .

12. Pretvorite cijele brojeve iz decimalnog u binarni:

a) 89;
b) 600;
c) 2010.

13. Pretvorite cijele brojeve iz decimalnog u oktalni:

a) 513;
b) 600;
c) 2010.

14. Pretvorite cijele brojeve iz decimalnog u heksadecimalni:

a) 513;
b) 600;
c) 2010.

15. Popuni tabelu u kojoj u svaki red treba upisati isti broj u brojevnim sistemima sa osnovama 2, 8, 10 i 16.

Rimski sistem brojeva je nepozicioni sistem. Za pisanje brojeva koristi slova latinične abecede. U ovom slučaju, slovo I uvijek znači jedan, slovo V znači pet, X znači deset, L znači pedeset, C znači sto, D znači pet stotina, M znači hiljadu, itd. Na primjer, broj 264 je napisan kao CCLXIV. Prilikom pisanja brojeva u rimskom brojevnom sistemu, vrijednost broja je algebarski zbir cifara uključenih u njega. U ovom slučaju cifre u zapisu brojeva slijede, po pravilu, silaznim redoslijedom njihovih vrijednosti, a nije dozvoljeno pisati više od tri jedna pored druge. identični brojevi. Kada iza cifre veće vrednosti sledi cifra sa manjom vrednošću, njen doprinos vrednosti broja u celini je negativan. Tipični primjeri koji ilustruju opšta pravila zapisi brojeva u rimskom brojevnom sistemu dati su u tabeli.

Tabela 2. Pisanje brojeva u rimskom numeričkom sistemu

Nedostatak rimskog sistema je nedostatak formalnih pravila za pisanje brojeva i, shodno tome, aritmetičkih operacija s višecifrenim brojevima. Zbog svoje neugodnosti i velike složenosti, rimski brojčani sistem se trenutno koristi tamo gdje je to zaista zgodno: u literaturi (numeracija poglavlja), u dizajnu dokumenata (serija pasoša, vrijednosnih papira, itd.), u dekorativne svrhe na brojčaniku sata. iu nizu drugih slučajeva.

Decimalni brojni sistem- trenutno najpoznatiji i korišteni. Pronalazak decimalnog brojevnog sistema jedno je od glavnih dostignuća ljudske misli. Bez toga moderna tehnologija teško da bi postojala, a još manje nastala. Razlog zašto je decimalni brojevni sistem postao opšteprihvaćen nije nimalo matematički. Ljudi su navikli da broje decimalnim brojevnim sistemom jer imaju 10 prstiju na rukama.

Drevna slika decimalnih cifara (slika 1) nije slučajna: svaka cifra predstavlja broj prema broju uglova u njoj. Na primjer, 0 - bez ugla, 1 - jedan ugao, 2 - dva ugla, itd. Pisanje decimalnih brojeva je pretrpjelo značajne promjene. Forma koju koristimo uspostavljena je u 16. veku.

Decimalni sistem se prvi put pojavio u Indiji oko 6. veka nova era. Indijsko numeriranje koristilo je devet numeričkih znakova i nulu da označi praznu poziciju. U ranim indijskim rukopisima koji su došli do nas brojevi su pisani obrnutim redoslijedom - najznačajniji broj je stavljen na desnoj strani. Ali ubrzo je postalo pravilo da se takav broj stavlja na lijevu stranu. Poseban značaj je pridavan nultom simbolu, koji je uveden za sistem pozicionih notacija. Indijska numeracija, uključujući nulu, preživjela je do danas. U Evropi su hinduističke metode decimalne aritmetike postale široko rasprostranjene početkom 13. veka. zahvaljujući radu italijanskog matematičara Leonarda iz Pize (Fibonači). Evropljani su pozajmili Indijski sistem nota među Arapima, nazivajući ga arapskim. Ovaj istorijski pogrešan naziv traje do danas.

Dekadski sistem koristi deset cifara — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9 — kao i simbole „+“ i „–“ da označi znak broja i a zarez ili tačka za odvajanje celobrojnih i decimalnih delova.

Koristi se u kompjuterima binarni sistem brojeva, njegova osnova je broj 2. Za pisanje brojeva u ovom sistemu koriste se samo dvije cifre - 0 i 1. Suprotno popularnoj zabludi, binarni sistem brojeva nisu izmislili inženjeri kompjuterskog dizajna, već matematičari i filozofi mnogo prije Pojava kompjutera, još u 17. vijeku, XIX vijeku. Prvu objavljenu raspravu o binarnom brojevnom sistemu dao je španski sveštenik Juan Caramuel Lobkowitz (1670). Opću pažnju na ovaj sistem privukao je članak njemačkog matematičara Gottfrieda Wilhelma Leibniza, objavljen 1703. godine. U njemu su objašnjene binarne operacije sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja. Leibniz nije preporučio upotrebu ovog sistema za praktična proračuna, ali je naglasio njegovu važnost za teorijska istraživanja. Vremenom, binarni sistem brojeva postaje dobro poznat i razvija se.

Izbor binarnog sistema za upotrebu u računarskoj tehnici objašnjava se činjenicom da elektronski elementi – okidači koji čine kompjuterske čipove – mogu biti samo u dva radna stanja.

Koristeći sistem binarnog kodiranja, možete uhvatiti sve podatke i znanje. Ovo je lako razumjeti ako se prisjetimo principa kodiranja i prijenosa informacija korištenjem Morzeove azbuke. Telegrafista, koristeći samo dva simbola ove abecede - tačke i crtice, može prenijeti gotovo svaki tekst.

Binarni sistem je zgodan za računar, ali nezgodan za osobu: brojevi su dugi i teško ih je napisati i zapamtiti. Naravno, možete konvertovati broj u decimalni sistem i zapisati ga u ovom obliku, a onda, kada ga trebate, pretvoriti nazad, ali svi ovi prijevodi su naporni. Zbog toga se koriste sistemi brojeva koji se odnose na binarni - oktalni i heksadecimalni. Za pisanje brojeva u ovim sistemima potrebno je 8 odnosno 16 cifara. U heksadecimalnom, prvih 10 cifara je uobičajeno, a zatim se koriste velika latinična slova. Heksadecimalni A odgovara decimalnom broju 10, heksadecimalni B odgovara decimalni broj 11 itd. Upotreba ovih sistema objašnjava se činjenicom da je prelazak na pisanje broja u bilo kojem od ovih sistema sa njegove binarne notacije vrlo jednostavan. Ispod je tabela korespondencije između brojeva napisanih u različitim sistemima.

Tabela 3. Korespondencija brojeva zapisanih u različitim brojevnim sistemima